Das Einmaleins der Töne

Eva Obermüller Und Lena Yadlapalli | aus HEUREKA 1/06 vom 02.11.2006

Von der Antike bis in die frühe Neuzeit waren Mathematik und Musik noch untrennbar miteinander verbunden. Die Informatik sorgt heute für völlig neue Anknüpfungspunkte zwischen der sinnlichen Kunst und der streng formalen Wissenschaft.

Wechselnde Wahlverwandtschaften. Die Fremdheit zwischen Mathematik und Musik ist ein relativ junges Phänomen. Noch Anfang des 17. Jahrhunderts galt Musik nicht als Kunst, sondern als Wissenschaft. Als etwa 1619 an der Universität Oxford ein neuer Lehrstuhl für Mathematik eingerichtet wurde, gehörte es zur Lehrverpflichtung des Professors, auch Vorlesungen über Musik zu halten. Das stand ganz in der Tradition der alten Griechen, bei denen die Musik ein Teilbereich der Mathematik war, genauso wie die Arithmetik, die Geometrie und die Astronomie.

Fast 400 Jahre später scheinen sich die beiden Gebiete hoffnungslos auseinanderentwickelt zu haben. So sehr, dass dem Informatiker Gerhard Widmer anfänglich der Mut fehlte, ein "musikalisches" Projekt beim österreichischen Wissenschaftsfonds FWF einzureichen. Er versuchte es 1998 trotzdem und wurde prompt belohnt: Mit dem Projekt "Artificial-Intelligence-Modelle des musikalischen Ausdrucks" gewann er den Start-Preis für Nachwuchsforscher. Heute ist der Hobbypianist Vorstand des Department of Computational Perception an der Johannes Kepler Universität in Linz.

Widmer ist nicht der Einzige, der an der Schnittstelle zwischen Musik und Mathematik arbeitet. Der Schweizer Musiktheoretiker, Mathematiker und Free-Jazz-Pianist Guerino Mazzola zum Beispiel entwickelt mathematische Theorien und Computerprogramme, mittels derer jede Art von Musik nicht nur mathematisch exakt erfasst, sondern auch komponiert werden kann (siehe Interview S. 10). Der renommierte deutsche Medientheoretiker Friedrich Kittler wiederum hat gerade den ersten Halbband seines auf vier Bände angelegten Riesenwerks "Musik und Mathematik" vorgelegt, das er mit den Beziehungen zwischen Musik, Mathematik und Erotik im alten Griechenland eröffnet.

Klingende Zahlen. Es war der griechische Philosoph Pythagoras von Samos (um 570 bis 480 vor unserer Zeitrechnung), der die Arithmetik in der Musik entdeckte, indem er der Musik Zahlen zuwies. Er fand - angeblich unter Zuhilfenahme eines einsaitigen Monochords - heraus, dass grundlegende musikalische Intervalle wie Oktave, Quinte oder Quarte regelmäßig fortschreitenden Zahlenverhältnissen (2:1, 3:2, 4:3) entsprechen. Was wiederum nichts anderes ist als die Grundlage der musikalischen Harmonielehre.

"Wohlklang hat mit einfachen Zahlenverhältnissen zu tun", meint dazu der Informatiker Gerhard Widmer. "Das ist sicher universell." Dass die Strukturen weit weniger versteckt sind, als man häufig annimmt, zeigt Widmer seinen Informatikstudenten in Linz gerne am Klavier: "Wenn ich ein Musikstück spiele, in dem ein falscher Akkord vorkommt, hört das jeder, auch wenn er keine Ahnung von Harmonielehre hat. Oder wenn ich ein Musikstück spiele, in dem die erste Phrase vier Takte hat und die zweite fünf: Da merkt jeder, dass etwas mit der Symmetrie nicht stimmt."

Was die alten Griechen erkannt hatten, wurde auch in der frühen Neuzeit noch hochgehalten. "Musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi", schrieb der deutsche Philosoph und Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz in einem Brief vom 27. April 1712 an den Mathematiker Christian Goldbach. Auf Deutsch: "Musik ist die versteckte arithmetische Tätigkeit der Seele, die sich nicht dessen bewusst ist, dass sie rechnet."

Sein Kollege Johannes Kepler hatte ein Jahrhundert vorher schon ganz andere Querbeziehungen hergestellt, nämlich zwischen Astronomie und Musik: Kepler leitete einen himmlischen D-Dur-Akkord her, indem er die relativen Geschwindigkeiten der Planeten mit den Intervallen gleichsetzte, die man auf einem Saiteninstrument spielen kann. Saturn, der langsamste Planet, ergab den tiefsten der sechs Töne in diesem Akkord, Merkur den höchsten.

Mathematische Musik. Umgekehrt kam damals auch in der Musik die Mathematik viel stärker zum Einsatz. Wie strikt formal die Regeln zur Erzeugung von musikalischer Harmonie sein können, zeigt sich vor allem in der Barockmusik. Mithilfe strenger Kompositionsregeln führte Johann Sebastian Bach (1685-1750) die Kunst der Fuge - jene musikalische Form, bei der ein Hauptthema im Laufe des Stücks in allen Stimmen variiert wird - zu einer Hochblüte. Seinen Zeitgenossen galt Bach daher auch als komponierender Mathematiker, auch wenn erst die Kreativität des Komponisten Schönheit ins strenge Zahlenspiel brachte.

Weniger talentierte Kollegen übten sich später an Musikstücken unter quasi algorithmischer Anleitung: Im Frankreich des 18. Jahrhunderts galt es als populärer Zeitvertreib, mit zwei Würfeln und einem Notenblatt quasi unendliche Menuette zu komponieren. Selbst der Jahresregent Wolfgang Amadeus Mozart lieferte ein Beispiel für diese Art der Musikproduktion: Er dachte sich ein "Musikalisches Würfelspiel" (KV 294 d) aus, das den Untertitel "Anleitung, Walzer oder Schleifer mit zwei Würfeln zu componieren ..." trug. Die Augenzahl der Würfel gibt dabei vor, welche vorkomponierten Takte aneinandergereiht werden und am Ende eine fertige Komposition ergeben.

"Gerade die tonale Musik, wie wir sie seit 300 Jahren kennen, ist ein wahnsinnig komplex strukturiertes Ding, das verschiedensten Regeln und Strukturen folgt", meint der Informatiker Gerhard Widmer. So wie die Mathematik sei sie ein in sich geschlossenes formales System, das nur von den Beziehungen der einzelnen Teile untereinander lebt. Mathematik, Physik und Musik treffen sich aber auch da, wo Schallwellen mit mathematischen Gleichungen dargestellt werden und Saiten mit bestimmten Frequenzen vibrieren.

Musikalische Computer. Abgesehen davon gibt es heute viele neue Berührungspunkte zwischen Mathematik und Musik, die vor allem mit den Möglichkeiten der Digitalisierung und dem Einsatz neuer Computersoftware zu tun haben. Keine digitale Tonaufzeichnung - von der CD bis hin zum MP3-Player - kommt ohne Mathematik aus. Besonders interessiert ist die Musikindustrie an intelligenten Methoden, mit der Fülle von digitalen Musikstücken umzugehen. Was auch Gerhard Widmer neue Forschungsvorhaben einbringt. Seine jüngsten Projekte beschäftigen sich damit, Ähnlichkeiten zwischen Musikstücken herzustellen. Das wiederum soll es ermöglichen, dass sich jede beliebige Musiksammlung selbstständig nach musikalischen Kriterien sortiert.

Vor allem aber geht es ihm mit seinen Mitarbeitern darum, Musik mithilfe spezieller Algorithmen auf der Klangebene zu analysieren. So entwickelt er eine spezielle Software, die die Interpretationen verschiedener Pianisten über Lautstärkeverläufe und Tempo analysiert. "Wir haben unsere Computer auch schon dazu gebracht, Interpreten anhand ihrer Aufnahmen zu identifizieren." Mathematik, Computer und formale Methoden sind für Widmer aber bloß Werkzeuge, mit denen man ein bisschen an der Oberfläche der Musik kratzen kann.

"Denn wenn man sich jeden Tag mit Musik beschäftigt, merkt man, dass Musik viel komplexer ist, als man glaubt", sagt Widmer und nennt als Beispiel den magischen Anschlag des Pianisten Vladimir Horowitz (1903-1989). "Da geht es um zehn Millisekunden, in denen Horowitz die Töne innerhalb eines Akkords anschlägt, nämlich nicht gleichzeitig. Erst dadurch entsteht der einzigartige Gesamtklang." Widmers Computern ist es bis heute nicht gelungen, das Geheimnis dieses Klangs zu lüften. Was irgendwie etwas Beruhigendes hat.

Literatur

Friedrich Kittler: Musik und Mathematik. Band 1: Hellas, Teil 1: Aphrodite. München 2006 (Fink). 409 S., E 41,10

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