Primzahlen zum Frühstück

aus HEUREKA 2/09 vom 24.06.2009

Man kann mit ihr rechnen, spielen, Codes knacken, modellieren und beweisen. Und sich in sie verlieben. Fünf Forscher über ihre Beziehung zur Mathematik.Aufgezeichnet von Mark Hammer

Rätsel lösen Mit elf Jahren war ich zum ersten Mal verliebt, und das gleich doppelt. Die eine Liebe hieß Helga, die andere Mathematik. Das mit Helga wurde nichts, aber die Mathematik begleitet mich bis heute. Ich weiß noch, wie es mich faszinierte, dass man mit Mathe nicht nur rechnen konnte, sondern auch Beweise führen. Es gibt unendlich viele Primzahlen, und daran muss man nicht glauben, man kann es in zwei Zeilen beweisen.

Als ich in der fünften Klasse zwei Wochen ins Krankenhaus musste, nahm ich das Mathe-Lehrbuch mit und vergnügte mich mit dem Stoff des nächsten Schuljahres. Nach der Matura wurde es ernst. Die Mathematik fragte: „Willst du mich studieren?“, und ich sagte freudig „Ja!“.

Die Mathematik und ich hatten auch schwierige Zeiten. Immer wieder liebäugelte ich mit ihrer Schwester, der Physik. Sie gab mir dafür zu verstehen, dass sie auch andere Liebhaber hätte, die jünger wären und alles dreimal so schnell verstünden. Aber wir haben uns verziehen und 1998 in der Promotionskanzlei der Uni Wien den Bund fürs Leben geschlossen.

Eifersüchtig war die Mathematik später nie mehr, wie die folgende Geschichte zeigt. Es gibt ein altes mathematisches Rätsel. Sie haben eine Balkenwaage und neun Kugeln, von denen eine ein klein wenig schwerer ist als die anderen. Wie oft müssen Sie wiegen, um die schwerere Kugel zu finden? Eines Abends in einer Bar fiel mir eine junge Dame auf, die ein paar Gäste mit dieser Frage ordentlich ins Grübeln brachte. Sie bemerkte mein mitleidiges Lächeln und nickte mir herausfordernd zu: „Na, wissen Sie’s vielleicht?“ Sechs Jahre später haben wir geheiratet.

Ulrich Berger (38) ist Spieltheoretiker und a.o. Professor für Volkswirtschaft an der WU Wien. Er betreibt den Blog „Kritisch gedacht“.

Strukturen suchen Ich bin keine begnadete Kopfrechnerin, meine Stärke sind eher Überschlagsrechnungen und Abschätzen. Meine Mutter behauptet, dass ich schon als Kleinkind auf den ersten Blick sagen konnte, wie viele Kühe auf einer Weide stehen. Das hilft mir heute bei meiner Arbeit, um schnell einen Überblick zu gewinnen, wie man ein Problem mit mathematisch-statistischen Methoden lösen kann.

In der Schule war ich in Mathematik immer Klassenbeste. So glaubte ich, dass mir das Mathematikstudium leichtfallen würde. Nur hat Schulmathematik wenig mit dem zu tun, was man an der Uni hört, nämlich viele Formeln und wenig Zahlen. Ich musste mich erst daran gewöhnen, dass man im ersten Studienabschnitt praktisch nichts rechnet. Man merkt aber bald, dass da System und Logik dahinterstecken. Gegen Ende des Studiums konzentrierte ich mich auf Statistik und hatte somit wieder mehr mit Zahlen und Daten zu tun.

Als Kind wollte ich Detektivin oder Kriminalpolizistin werden. Diese detektivische Ader in mir kann ich ausleben, wenn ich aus einer großen Datenmenge neue Erkenntnisse herauszuholen versuche. Wir bemühen uns, mithilfe mathematisch-statistischer Modelle Strukturen in Daten zu finden: zum Beispiel um zu zeigen, wie sich die Qualitätseigenschaften von Papier bestimmen und verbessern lassen, wie man die Produktion von Eiern oder das Bauauftragsvolumen in der Steiermark prognostiziert oder welche Faktoren die Fruchtbarkeit von Schweinen beeinflussen.

Ulrike Kleb (41) ist technische Mathematikerin und arbeitet am Institut für Angewandte Statistik und Systemanalyse bei Joanneum Research in Graz.

Komplexität modellieren Ich habe zur Mathematik ein ambivalentes Verhältnis. Einerseits ist sie ein unendlich hohes Gebirge, das man nicht bezwingen kann und vor dem ich größten Respekt habe. Auf der anderen Seite nutzen wir Mathematik täglich und sehen sie als unspektakuläres Werkzeug, etwa so, wie ein Mechaniker einen Schraubenzieher sieht.

Wir verwenden Computer als Rechner. Was Mathematiker Mathematik nennen, macht man nach wie vor hauptsächlich mit Bleistift und Papier. Wir arbeiten an einer Theorie komplexer Systeme – vom Finanzmarkt bis zu Genmodellen. Dafür kommen wir meist mit den ersten drei Semestern Mathematik aus. Bei Mathematikern geht es dann erst los. Für den Laien machen wir wahrscheinlich unverständliche Mathematik. Ein Mathematiker würde aber sagen, dass wir bloß etwas ausrechnen. Wir wollen eine Zahl als Ergebnis. Mathematikern geht es meist nicht ums Rechnen, sie wollen zeigen, dass es eine Lösung zu einem Problem gibt, egal wie die im Detail aussieht. Es geht um mathematische Sätze und Beweise. Mathematik ist daher viel allgemeiner, abgehobener und götterhafter.

Zahlen merke ich mir schwer, und ich bin schlecht im Kopfrechnen. In der Schule hatte ich nie Probleme mit Mathematik. Ich habe begonnen, Mathematik zu studieren, dann aber zugunsten der Physik abgebrochen. Ich wollte Quantenfeldtheorie lernen und habe nicht gesehen, welche Mathematik ich dazu brauche. Später merkt man, was einem alles fehlt. Man lernt ständig nach. Mathematik ist oft ein Flaschenhals, und man steht an. Entweder weil man Mathematik zu wenig beherrscht oder weil sie selbst noch nicht weit genug ist, wenn man für eine neue Wissenschaft eine neue Mathematik braucht.

Stefan Thurner (40) ist theoretischer Physiker und Finanzökonom. Er leitet die Complex Systems Research Group (COSY) an der Medizinischen Universität Wien.

Mit der Sprache spielen Mein Weg zur Mathematik war kein direkter. Als ich in der Schule war, habe ich mich mehr für Philosophie, Politik und Literatur interessiert. Ich habe dann angefangen, Volkswirtschaft zu studieren, weil ich mir davon versprach, die Welt besser verstehen zu können. An der Uni Wien wird Volkswirtschaft in einer sehr formalen Form gelehrt. Da ich an meiner Schule wenig Mathematik hatte, musste ich mir sehr viele Dinge selbst erarbeiten.

Die Mathematik auf gesellschaftliche Fragestellungen anzuwenden ist kritisch zu diskutieren. Man steckt sehr viel an Methoden hinein, aber was man am Ende herausbekommt, ist mitunter sehr wenig an Aussage – oder zu abstrakt, um von direkter, praktischer Relevanz zu sein. Man bekommt immer nur Aussagen der Art „Wenn [diese und jene Bedingungen erfüllt sind], dann“. Aber ob dieses Wenn erfüllt ist, liegt außerhalb der mathematischen Analyse. Um das mathematische Argument interpretieren zu können, braucht man empirische Forschung.

In meiner eigenen Forschung wechselte ich von mathematischen Modellen in der Ökonomie zu mathematischen Modellen in der Kommunikation und Sprachevolution. Methodisch sind diese beiden Gebiete eng verwandt. Es geht darum, dezentrale Interaktion von individuellen Entscheidungsträgern zu modellieren und zu analysieren, was dabei auf einer sozialen Ebene herauskommt. In der Ökonomie und Biologie haben sich diese sogenannten spieltheoretischen Methoden schon relativ lange etabliert. In der Sprachevolution ist das noch recht neu. Das ist großartig für junge Wissenschaftler, weil hier noch einiges zu entdecken ist.

Cristina Pawlowitsch (34) ist derzeit Research Scientist am Program for Evolutionary Dynamics an der Harvard University.

Codes konstruieren Rechnen verhält sich zu Mathematik meiner Meinung nach ungefähr so wie Wurstsemmeln zur österreichischen Küche. Das Addieren und Multiplizieren von Zahlen ist nicht das Ansprechende. Für mich ist Mathematik vielmehr die Kunst, aus einfachen Zusammenhängen und Regeln weitreichende Konsequenzen und unerwartete Ergebnisse herzuleiten.

Mein Forschungstag beginnt seit ein paar Wochen bereits am Frühstückstisch. Dann verifiziert meine siebenjährige Tochter gemeinsam mit mir experimentell den Fundamentalsatz der Arithmetik, nämlich dass sich jede natürliche Zahl als Produkt von endlich vielen Primzahlen darstellen lässt.

Bei der Arbeit werde ich mit praktischen Fragestellungen konfrontiert, zum Beispiel ob man den ameri-kanischen Standard für digitale Signaturen brechen kann. Dabei versuche ich herauszufinden, welches mathematische Gebiet Lösungen dafür bereitstellt. Ebenso oft jedoch bin ich als Kryptograf mit der Suche nach Problemen beschäftigt, für die keine einfache Lösung existiert, um daraus sichere Codes zu konstruieren.

Natürlich ist der Einsatz von Computern unerlässlich, aber die Lösung mit Papier und Bleistift ist meistens um vieles eleganter und befriedigender. Der Unterschied ist vergleichbar damit, ob man einen Berg zu Fuß oder mit dem Helikopter bezwingt.

Die immer leistungsfähigeren Computer führen dazu, dass viele Menschen, jedenfalls ich selber, fauler werden und immer seltener mit dem Kopf rechnen. Die Mathematik wird solche Entwicklungen überdauern, als Ausdruck von menschlicher Vorstellungskraft und Kreativität.

Vincent Rijmen (38), gebürtiger Belgier, ist Vorstand der Arbeitsgruppe für Kryptografie am Institut für angewandte Informationsverarbeitung und Kommunikation an der TU Graz.

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